Простое расширение поля. Алгебраические расширения полей Простое алгебраическое расширение поля
Введение.
В педагогических вузах введена программа единого курса алгебры и теории чисел. Главная цель этого курса-изучение основных алгебраических систем и воспитание алгебраической культуры, необходимой будущему учителю для глубокого понимания целей и задач как основного школьного курса математики, так и школьных факультативных курсов.
На наш взгляд, наиболее целесообразным является введение в школьное преподавание элементов современной абстрактной алгебры.
Начавшийся в ХХ веке процесс алгебраизации математики не прекращается, а это вызывает упорные попытки введения в школьное математическое образование основных алгебраических понятий.
Математическая глубина и необычайно широкая сфера применения полей сочетаются с простотой ее основных положений – понятий полей, целый ряд важных теорем можно сформулировать и доказать, обладая начальными представлениями в области теории множеств. Поэтому теория полей как нельзя лучше подходит для того, чтобы показать школьникам образец современной математики.
Кроме того, изучение элементов теории поля полезно для школьников, способствует их интеллектуальному росту, проявляющемуся в развитии и обогащении различных сторон их мышления, качеств и черт личности, а также воспитанию у учащихся интереса к математике, к науке.
1. Простое алгебраическое расширение поля.
1.1.Простое расширение поля.
Пусть P[x] - кольцо полиномов от x над полем P, где P - подполе поля F. Напомним, что элемент a поля F называется алгебраическим над полем P, если a является корнем какого-нибудь полинома положительной степени из P [x].
Определение. Пусть P < F и a0F. Простым расширением поля Pс помощью элемента a называется наименьшее подполе поля F, содержащее множество Р и элемент a. Простое расширение Pс помощью a обозначается через P (a), основное множество поля P (a) обозначается через Р(a).
Пусть a0F, P [x] - кольцо полиномов от x и
P[x]={f(a)*f0P[x]},
т. е. P [a] есть множество всех выражений вида a 0 + a 1 a+...+ a n a n , где а 0 , a 1, ...a n 0P и n - любое натуральное число.
Легко видеть, что алгебра +P[a], +, -, ., 1, - подкольцо поля P (a) - является кольцом; это кольцо обозначается символом P [a].
Теорема 1.1. Пусть P [x]- кольцо полиномов от х над Pи P (a)- простое расширение поля P. Пусть y - отображение P[x] на P[a] такое, что y(f)=f(a) для любого f из P[x]. Тогда:
(а) для любого а из Р y (а) = а;
(с) y является гомоморфизмом кольца P [x] на кольцо P [a];
(d) Kery ={f0P[x]*f(a)=0};
(е) фактор-кольцо P [x]/Кег y изоморфно кольцу P [a].
Доказательство. Утверждения (а) и (Ь) непосредственно следуют из определения y. Отображение y сохраняет главные операции кольца P [x], так как для любых f и g из P[x]
y(f + g)=f(a)+g(a), y(fg)= f(a)g(a), y(1)=1.
Утверждение (d) непосредственно следует из определения отображения y.
Поскольку y - гомоморфизм кольца P [x] на P [a], то фактор-кольцо P[x]/Кег y изоморфно кольцу P [a].
Следствие 1.2. Пусть a - трансцендентный элемент над полем P. Тогда кольцо полиномов P [x] изоморфно кольцу P [a].
Доказательство. В силу трансцендентности a над PKery={0}. Поэтому P[x]/{0}P [a]. Кроме того, фактор-кольцо кольца P [x] по нулевому идеалу изоморфно P [x]. Следовательно, P [x]P [a].
1.2.Минимальный полином алгебраического элемента.
Пусть P [x] - кольцо полиномов над полем P.
Определение. Пусть a - алгебраический элемент над полем P. Минимальным полиномом элемента a, над P называется нормированный полином из P[x] наименьшей степени, корнем которого является a. Степень минимального полинома называется степенью элемента a над P.
Легко видеть, что для всякого элемента a, алгебраического над P , существует минимальный полином.
Предложение 1.3. Если а - алгебраический элемент над полем P, а g и j - его минимальные полиномы над P, то g=j.
Доказательство. Степени минимальных полиномов g и j совпадают. Если g¹j, то элемент a (степени n над P) будет корнем полинома g - j, степень которого меньше степени полинома j (меньше n), что невозможно. Следовательно, g=j.
Теорема 1.4. Пусть a - алгебраический элемент степени n над полем P (aóP) и g - его минимальный полином над P. Тогда:
(а) полином g неприводим в кольце P [x];
(b) если f (a) = 0, где f0P[x], то g делит f;
(с) фактор-кольцо P [x]/(g) изоморфно кольцу P [a];
(d) P [x]/(g) является полем;
(е) кольцо P [a] совпадает с полем P (a).
Доказательство. Допустим, что полином g приводим в кольце P [x], т. е. существуют в P[x] такие полиномы j и h, что
g = jh, 1£deg j, deg h Тогда g(a) = j(a)h(a) = 0. Так как P (a) - поле, то j(a) = О или h(a) = 0, что невозможно, поскольку, по условию, степень элемента a над P равна п. Предположим, что f0 P[x] и f(a) = 0. По условию, g(a) = 0. Следовательно, f и g не могут быть взаимно простыми. Поскольку полином g неприводим, то g делит f. Пусть j - гомоморфизм кольца P [x] на кольцо P [a] (y(f)=f(a) для всякого f из P[x]), рассмотренный в теореме 2.1. В силу (Ь) ядро гомоморфизма y состоит из кратных полинома g, т.е. Кег y = (g). Следовательно, фактор-кольцо P = P [x]/(g) изоморфно кольцу P [a]. Поскольку P[a]ÌP(a), то P [a] есть область целостности. Так как P@P[a], то фактор-кольцо P также есть область целостности. Нам надо показать, что любой ненулевой элемент f из P обратим в P. Пусть f - элемент смежного класса f. Так как f¹ 0, то f(a)¹0; поэтому полином g не делит полином f. Поскольку полином g неприводим, отсюда следует, что полиномы f и g - взаимно простые. Следовательно, в Р[x] существуют такие полиномы u и v, что uf + vg=1. Отсюда вытекает равенство uf = 1, показывающее, что элемент f обратим в кольце P. Итак, установлено, что фактор-кольцо P является полем. В силу (с) и (d) P [a] является полем и поэтому P(a)ÌP[a]. Кроме того, очевидно, P[a]ÌP(a). Значит, P[a] = P(a). Следовательно, кольцо P [a] совпадает с полем P (a). 1.3.Строение простого алгебраического расширения поля.
Теорема 1.5. Пусть a - алгебраический над полем Pэлемент положительной степени n. Тогда любой элемент поля P(a) однозначно представим в виде линейной комбинации n элементов 1, a, ..., a n-1 с коэффициентами из Р. Доказательство. Пусть b- любой элемент поля P (a). По теореме 1.4, P(a) = P[a]; следовательно, существует в P[x] полином f такой, что Пусть g - минимальный полином для a над P; в силу условия теоремы его степень равна п. По теореме о делении с остатком, существуют в P[x] полиномы h и r такие, что (2) f = gh + r, где r = 0 или derr < derg = n , т. е. r=c 0 +c 1 x +…c n -1 x n -1 (c i 0P). Полагая в (2) x = а и учитывая равенство (1), имеем (3) b = c 0 +c 1 a +…c n -1 a n-1 Покажем, что элемент b однозначно представим в виде линейной комбинации элементов 1, a, ..., a n-1 . Пусть (4) b = d 0 +d 1 a +…d n -1 a n-1 (d i 0P) Любое такое представление. Рассмотрим полином j j = (с 0 – d 0) + (c 1 - d i .)x + . . . + (с n-1 –d n -1)x n -1 Случай, когда степень j меньше n, невозможен, так как в силу (3) и (4) j(a) = 0 и степень j меньше степени g. Возможен лишь случай, когда j = 0, т. е. с 0 = d 0 , . . . , с n-1 = d п-1. Следовательно, элемент b однозначно представим в виде линейной комбинации элементов 1, a,…,a n-1 . 1.4.Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби.
Задача об освобождении от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби состоит в следующем. Пусть a - алгебраический элемент степени n>1 над полем P; f и h - полиномы из кольца полиномов P [x]и h(a) ¹0. Требуется представить элемент f(a)/h(a)0P(a) в виде линейной комбинации степеней элемента a, т. е. в виде j(a), Эта задача решается следующим образом. Пусть g - минимальный полином для a над P. Так как, по теореме 1.4, полином неприводим над P и h(a) ¹ 0, то g не делит h и, значит, полиномы h и g - взаимно простые. Поэтому существуют в P[x] такие полиномы u и v, что Поскольку g(a) = 0, из (1) следует, что u(a)g(a) = 1, 1/h(a) = u(a). Следовательно, f(a)/h(a) = f(a)u(a), причем f,u0P[x] и f(a)u(a)0P[a]. Итак, мы освободились от иррациональности в знаменателе дроби f(a)/h(a) . Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби Решение. В нашем случае a= Многочлены p(x) и g(x)=-x 2 +x+1 взаимно просты. Поэтому существуют такие многочлены j и y, что Для отыскания j и y применим алгоритм Евклида к многочленам p и g: X 3 -2 -x 2 +x+1 -x 2 +x+1 2x-1 x 3 -x 2 -x -x-1 -x 2 +1/2x -1/2x+1/4 x 2 -x-1 1/2x-1/4 Таким образом, p=g(-x-1)+(2x-1), g=(2x-1)(-1/2x+1/4)+5/4. Откуда находим (2x-1)=p+g(x+1), 5/4=g-(p+g(x+1))(-1/2x+1/4) p1/5(2x-1)+g(4/5+1/5(2x 2 +x-1))=1, p1/5(2x-1)+g(2/5x 2 +1/5x+3/5)=1. Таким образом, y(x)= (2/5x 2 +1/5x+3/5). Следовательно 2.Составное алгебраическое расширение поля.
2.1. Конечное расширение поля.
Пусть P - подполе поля F. Тогда мы можем рассматривать F как векторное пространство над P, т. е. рассматривать векторное пространство +F, +, {w l ½l0P}, где w l - операция умножения элементов из F на скаляр l0P. Определение. Расширение F поля P называется конечным, если F, как векторное пространство над P, имеет конечную размерность. Эта размерность обозначается через . Предложение 2.1. Если a - алгебраический элемент степени n над P, то =n. Это предложение непосредственно следует из теоремы 1.5. Определение. Расширение F поля P называется алгебраическим, если каждый элемент из F является алгебраическим над P. Теорема
1.5
. Пусть
a
- алгебраический над полем
P
элемент положительной
степени
n
.
Тогда любой элемент поля
P(a)
однозначно представим
в виде линейной комбинации
n
элементов
1, a,
..., a n -1
с коэффициентами из
Р.
Доказательство
.
Пусть -
любой элемент поля
P
(a).
По теореме 1.4, P(a)
=
P
[
a];
следовательно,
существует в P
[
x
]
полином f
такой, что (1)
=
f
(a
).
Пусть
g
-
минимальныйполином для a
над P;
в силу условия теоремы его степень
равна п.
По
теореме о делении с остатком, существуют
в P
[
x
]
полиномы h
и
r
такие, что (2)
f = gh +
r,
где
r = 0
или
der r <
der g = n ,
т.
е.
r=c
0
+c
1
x
+…c
n-1
x
n-1
(c i P).
Полагая в (2) x
= а
и учитывая равенство
(1), имеем (3)
=
c
0
+
c
1
a
+…
c
n
-1
a
n
-1
Покажем,
что элемент
однозначно представим в виде линейной
комбинации элементов 1, a,
..., a n -1 .
Пусть (4)
=
d
0
+
d
1
a
+…
d
n
-1
a
n
-1
(d i
P) Любое
такое представление. Рассмотрим полином
=
(с
0
–
d
0
)
+ (c
1
-
d
i
.)
x
+ . . . + (с
n
-1
–
d
n
-1
)
x
n
-1
Случай,
когда степень
меньше n
,
невозможен, так как
в силу (3) и (4) (a)
= 0 и степень
меньше степени g
.
Возможен лишь случай,
когда
= 0, т. е. с
0
=
d
0
,
. . . , с
n
-1
= d
п-1.
Следовательно, элемент
однозначно представим в виде линейной
комбинации элементов 1, a,…,a n -1 . Задача
об освобождении от алгебраической
иррациональности в знаменателе дроби
состоит в следующем. Пусть a
- алгебраический элемент степени n>1
над полем P;
f
и h
-
полиномы из кольца
полиномов P
[x]и
h(a)
0.
Требуется представить элемент
f(a)/h(a)0P(a)
в виде линейной комбинации степеней
элемента a,
т. е. в виде (a), где
0P[x]. Эта
задача решается следующим образом.
Пусть g
- минимальный полином
для a
над P.
Так как, по теореме 1.4, полином неприводим
над P
и h(a)
0, то g
не делит h
и, значит, полиномы h
и g
- взаимно простые. Поэтому существуют
в P[x]
такие полиномы u
и v
,
что uh
+
vg
=1
(1) Поскольку
g(a)
= 0, из (1) следует, что u(a)g(a)
= 1, 1/h(a)
= u(a). Следовательно,
f(a)/h(a)
= f(a)u(a),
причем f,u
0P[x]
и f(a)u(a)0P[a].
Итак, мы освободились от иррациональности
в знаменателе дроби f(a)/h(a)
.
Пример.
Освободиться от
иррациональности в знаменателе
дроби
Решение.
В
нашем случае
= p
(x
)=
x
3
-2.
Многочлены
p
(x
)
и
g
(x
)=-
x
2
+
x
+1
взаимно просты. Поэтому существуют
такие многочлены
и
, что
p
+
g
=1.
Для
отыскания
и
применим алгоритм Евклида к многочленам
p и g:
-
x
3
-2
-
x
2
+
x
+1
-
x
2
+
x
+1
2
x
-1
x
3
-
x
2
-
x
-
x
-1
-
x
2
+1/2
x
-1/2
x
+1/4
x
2
+
x
-2 1/2
x
+1
x
2
-
x
-1
1/2
x
-1/4
2
x
-1 5/4
Таким образом,
p
=
g
(-
x
-1)+(2
x
-1),
g
=(2
x
-1)(-1/2
x
+1/4)+5/4.
Откуда находим (2x-1)=p+g(x+1),
5/4=g-(p+g(x+1))(-1/2x+1/4)
или
p1/5(2x-1)+g(4/5+1/5(2x
2
+x-1))=1,
p
1/5(2
x
-1)+
g
(2/5
x
2
+1/5
x
+3/5)=1.
Таким образом,
(x
)=
(2/5
x
2
+1/5
x
+3/5).
y
(
)=
y
( Следовательно 10. Теорема о строении простого алгебраического расширения 1 0 . Понятие минимального многочлена. Пусть a - алгебраическое число над полем k, т.е. корень ненулевого многочлена с коэффициентами из поля k. Определение. Нормированный многочлен m(a, k, x) над полем k называется минимальным многочленом числа a, если выполнены условия: а) m(x) - неприводим над полем k, т.е. не разлагается в произведение многочленов
положительной степени с коэффициентами из k; б) m(a) = 0, т.е. a - корень многочлена m(x). 2 0 . Основные свойства минимальных многочленов. 1. Если f(x) Î k[x] и f(a) = 0, то f(x) делится на минимальный многочлен m(х) числа a. Доказательство. В самом деле, предположив, что f не делится на m, запишем f = mg + r, deg r < deg m на основании теоремы о делении с остатком. Откуда r(a)=0. Поскольку многочлены r и m взаимно просты, то у них не может быть общих корней - противоречие. 2. Допустим, что a - алгебраическое число, а g(x) - нормированный многочлен наименьшей положительной степени такой, что g(x) Î k[x] и g(a) = 0. Тогда g(x) - минимальный многочлен числа a. Доказательство немедленно вытекает из свойства 1. 3. Минимальный многочлен алгебраического числа a над данным полем определен однозначно. Для доказательства достаточно применить свойство 2. Определение. Степень минимального многочлена числа a называется степенью числа a; обозначение deg k a. 4. a Î k Û deg k a = 1. Доказательство немедленно получается из определений. 5. Если a - алгебраическое число степени n, то 1, a, a 2 , ..., a n -1 линейно независимы над полем k, т.е. ("c 0 , c 1 , ..., c n-1 Îk) c 0 + c 1 a + ... + c n-1 a n -1 = 0 возможно только в случае c 0 = c 1 = . . . = c n-1 = 0. Доказательство. Действительно, если указанные степени числа a линейно зависимы, то это число является корнем некоторого многочлена над k, степени меньшей чем m. 6. Пусть a - алгебраическое число, f(x) Î k[x] и f(a) ¹ 0. Тогда дробь представима в виде = g(a) для некоторого g(x) Î k[x]. Доказательство. В самом деле, многочлены f и m взаимно просты (иначе f делился бы на m), значит, по теореме о линейном представлении НОД: для некоторых многочленов g и h над k верно равнство Откуда f(a) g(a) = 1, что и требовалось. 3 0 . Строение простых алгебраических расширений. Определение. Пусть k - подполе в L; a Î L. Наименьшее подполе в L, содержащее число a и подполе k, обозначаемое k(a), называется простым расширением поля k (говорят также, что k(a) получено присоединением к полю k числа a). Из приведенных свойств легко вывести теорему. Теорема (о строении простого алгебраического расширения). Для любого алгебраического числа a над полем k линейное пространство k(a) обладает базисом из элементов вида 1, a, a 2 , . . . , a n -1 , где n = deg k a. Доказательство. Легко понять, что k(a) состоит из дробей f(a)/g(a), где f(x), g(x) - многочлены над полем k и g(a) ¹ 0. Обозначим через k[a] - кольцо значений многочленов в точке a, т.е. k[a] = { f(a)½f(x)Î k[x]}. Из свойства 6 вытекает равенство k(a) = k[a]. Из теоремы о делении с остатком следует, что значение произвольного многочлена над полем k в точке a является линейной комбинацией над полем k указанных в теореме степеней элемента a. Наконец, из свойства 5 следует линейная независимочть над полем k этих степеней. ÿ 4 0 . Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби. Разберем различные способы решения задачи об освобождении от иррациональности в знаменателе дроби. Принципиальная возможность ее решения вытекает из теоремы о строении простого алгебраического расширения. Пример 1. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби: Решение. Обозначим через c число , и воспользуемся известной формулой суммы членов геометрической прогрессии: 1+ c + c 2 + c 3 + c 4 = (c 5 - 1)/(c- 1) = 1/(c- 1), следовательно, Пример 2. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби: Решение. Обозначим через c число , и запишем сначала дробь в виде суммы простейших: Теперь, используя схему Горнера, каждую из указанных дробей можно заменить на многочлен относительно c. Сначала разделим c 5 - 2 на c + 1: следовательно, C 4 - 2c 3 + 4c 2 - 8c + 16. Тогда получаем 34(c 4 - c 3 + c 2 - c + 1) - 3(c 4 - 2c 3 + 4c 2 - 8c + 16) = 31c 4 - 40c 3 + 22c 2 - 10c - 14, Пример 3. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби: Решение. Обозначим через c число . Найдем линейное представление НОД многочленов f(x) = x 3 - 2 и g(x) = 1 + 2x - x 2: f(x) = - g(x)×(x + 2) + r(x), где r(x) = 5x 5g(x) = r(x)×(x - 2) - 5. Из этих равенств, получаем линейное представление НОД f(x) и g(x): f(x)×(x - 2) + g(x)×(x 2 + 1) = 5. Подставляя в последнее равенство вместо x число c, получим следовательно, =. Пример 4. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби: Решение. Обозначим через c число и применим метод неопределенных коэффициентов. По теореме о строении простого алгебраического расширения существуют рациональные числа x, y, z такие, что Xc 2 + yc + z или 89 = (c 2 + 16c - 11)(xc 2 + yc + z). Раскрывая скобки и используя равенство c 3 = 2, получаем: 89 = (32x + 2y - 11z) + (2x - 11y + 16z)c + (-11x + 16y + z)c 2 . Так как числа 1, c, c 2 линейно независимы над Q имеем 32x + 2y - 11z = 89, 2x - 11y + 16z = 0, 11x + 16y + z = 0. Решением последней системы является набор чисел (3, 2, 1). Значит, получаем ответ: алгебраическое расширение поля
- — Тематики защита информации EN extension field … Справочник технического переводчика
Поле E, содержащее данное поле K в качестве подполя. Типы расширений Алгебраическое расширение расширение, все элементы которого являются алгебраическими над K, то есть любой элемент которого является корнем некоторого многочлена f(x) c… … Википедия
Алгебраическое расширение поля EÉ K, являющееся нормальным и сепарабельным. При этих условиях E будет иметь наибольшее количество автоморфизмов над K (если E конечно, то количество автоморфизмов также конечно и равно степени расширения ).… … Википедия
П о л у г р у п п ы А полугруппа S, содержащая Ав качестве подполугруппы. Обычно речь идет о расширениях полугруппы А, связанных с Атеми или иными условиями. Наиболее развита теория идеальных Р. полугрупп (полугрупп, содержащих Ав качестве… … Математическая энциклопедия
Уравнение вида где многочлен n й степени от одного или нескольких переменных. А. у. с одним неизвестным наз. уравнение вида: Здесь п целое неотрицательное число, наз. коэффициентами уравнения и являются данными, хназ. неизвестным и является… … Математическая энциклопедия
Поля k алгебраич. расширение поля k, являющееся алгебраически замкнутым полем. Такое расширение для любого поля kсуществует п определено однозначно с точностью до изоморфизма. А. з. поля действительных чисел является поле комплексных чисел (см.… … Математическая энциклопедия
Нормальное расширение алгебраическое расширение поля EÉ K для которого каждый неприводимый многочлен f(x) над K, имеющий хотя бы один корень в E, разлагается в E на линейные множители. Равносильное определение: Если KÌ EÌ K*, где K* … … Википедия
Сепарабельное расширение алгебраическое расширение поля, состоящее из сепарабельных элементов то есть таких элементов α, минимальный аннулятор f(x) над K для которых не имеет кратных корней. Производная f (x) должна быть по вышеуказанному… … Википедия
Расширение поля, такое, что E конечномерно над K как векторное пространство. Размерность векторного пространства E над K называется степенью расширения и обозначается . Свойства конечных расширений Конечное расширение всегда алгебраично. В… … Википедия
Поля алгебраическое расширение Lполя К, удовлетворяющее одному из следующих эквивалентных условий: 1) любое вложение поля Lв алгебраич. замыкание поля Кявляется автоморфизмом поля L; 2) L поле разложения нек рого семейства многочленов с… … Математическая энциклопедия
1.3.Строение простого алгебраического расширения поля.
1.4.Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби.
.
Минимальным многочленом этого числа
является
)=
.
.
.
.
.
.